Equations d'un cercle 22722

Exemple de page de Equations d'un cercle

Equations d'un cercle.

Notations et définitions.

Dans un plan, désignons l’origine par O.

Un point p est localisé par ses deux coordonnés x et y.

En utilisant la notation vectorielle de Dirac <bra| et |ket>,

nous associons le vecteur |p> = |x,y> à chaque point p.

Cette notation était introduite par Dirac dans son livre ?Mécanique Quantique’.

Le< bra| est le vecteur <p| dans l’espace dual.

Le produit scalaire <p|p> = r^2 = x^2 + y^2, r est la distance Op.

La plus simple équation d’un cercle est obtenue quand elle est centrée sur O.

Dans ce cas, pour chaque point du périmètre, il est imposé <p|p>=<r|r> =r^2,

x^2 + y^2 = r^2, où r est le rayon du cercle.

Cette équation quadratique à trois variables fournit deux types de solutions :

1° Quand x et y reçoivent des valeurs numériques r se calcule,

2° Quand x et r sont donnés et y est calculé.

Ex : x=3, y=4 donnent r=5 ;

Et pour x=10, r=26 donne y=+-24, à cause le double signe de la racine carré.

On peut décentrer lu cercle, au point C, par le vecteur |C> = |a,b>.

Le vecteur |P> = |X,Y> est associé aux points du périmètre.

La translation est décrite par la suite des relations :

|P> - |C> = |X-a,Y-b> = |x,y> = |r>,

Et la condition du cercle est obtenue sous la forme quadratique :

< X-a,Y-b| X-a,Y-b> = (X-a)^2 + (Y-b)^2 = r^2

L’équation contienne les variables X, Y du périmètre, a, b du centre et r le rayon.

Les exercices se portent sur trois cas typiques.

1° Pour calculer r, il suffit connaitre un point |P> et |C>.

2° Pour calculer la translation |C>, il faut deux points |P1>, |P2> et r.

3° Le calcule a, b, et r demande les coordonnés de trois points |P1>, |P2> et |P3>.

Ecrivons les équations quadratiques pour le cas 3°, la soustraction de la troisième des deux précédentes permet éliminer r et arrivons ainsi à deux équations pour a et b.