Probabilite approfondie 14.00 / 20

Ce polycopie est destine aux etudiants de l'U.E. \Probabilites Approfondies" du Master de Mathematiques de l'Universite Pierre et Marie Curie. En principe il s'adresse donc a des etudiants ayant suivi un cours d'integration et un premier cours de probabilites. Cependant le chapitre 1 contient un rappel de tous les resultats d'integration utilises par la suite. Quant au chapitre 2 qui introduit les principales notions de probabilites, il est relativement autonome et peut eventuellement ^etre aborde par un etudiant n'ayant jamais suivi de cours de probabilites. Le chapitre 3 presente les esperances conditionnelles et le calcul des lois conditionnelles. Les chapitres 4 et 5 sont consacres aux deux sujets essentiels de ce module, d'une part l'etude des cha^nes de Markov a temps discret et a valeurs denombrables et d'autre part, l'etude des martingales a temps discret. Un certain nombre de resultats, gurant classiquement dans un cours de probabilites au niveau ma^trise, ont etes rejetes en annexe, car ils ne sont pas vraiment necessaires pour la comprehension des deux chapitres principaux, a savoir les chapitres 4 et 5. Il est neanmoins vivement recommande au lecteur d'en prendre connaissance.
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Plan :

Table des matieres 1 Rappels d'integration 5 1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Mesures produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Mesures de Radon sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Convergences de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Mesures signees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Notions de probabilites 31 2.1 Espace de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Variables aleatoires reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Variables aleatoires vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Convergence des suites de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Integrabilite uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.1 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.3 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Esperances conditionnelles 59 3.1 De nition elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 De nition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Conditionnement par une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Conditionnement et independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6.2 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 TABLE DES MATI ERES TABLE DES MATI ERES 4 Cha^nes de Markov 73 4.1 Processus aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.1 Processus canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.2 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Matrices de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3 Suites markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.4 Cha^nes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.5 Recurrence et transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6 Theorie du potentiel des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7 Cha^nes irreductibles recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.8 Stabilisation des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.9 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9.1 Recurrence et fonctions excessives . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9.2 Etude d'exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.9.3 Marches aleatoires sur Zd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5 Martingales 111 5.1 De nition et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2 Etude sur un intervalle de temps ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 Martingales dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4 Martingales dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 Martingales positives generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6.1 Application aux cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6.2 Etude des sous-martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.6.3 Suites de v.a.r. independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4
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