Probabilite approfondie 14.00 / 20

Ce polycopie est destine aux etudiants de l'U.E. \Probabilites Approfondies" du Master de Mathematiques de l'Universite Pierre et Marie Curie. En principe il s'adresse donc a des etudiants ayant suivi un cours d'integration et un premier cours de probabilites. Cependant le chapitre 1 contient un rappel de tous les resultats d'integration utilises par la suite. Quant au chapitre 2 qui introduit les principales notions de probabilites, il est relativement autonome et peut eventuellement ^etre aborde par un etudiant n'ayant jamais suivi de cours de probabilites. Le chapitre 3 presente les esperances conditionnelles et le calcul des lois conditionnelles. Les chapitres 4 et 5 sont consacres aux deux sujets essentiels de ce module, d'une part l'etude des cha^nes de Markov a temps discret et a valeurs denombrables et d'autre part, l'etude des martingales a temps discret. Un certain nombre de resultats, gurant classiquement dans un cours de probabilites au niveau ma^trise, ont etes rejetes en annexe, car ils ne sont pas vraiment necessaires pour la comprehension des deux chapitres principaux, a savoir les chapitres 4 et 5. Il est neanmoins vivement recommande au lecteur d'en prendre connaissance.
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Plan :

Table des matieres 1 Rappels d'integration 5 1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Mesures produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Mesures de Radon sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Convergences de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Mesures signees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Notions de probabilites 31 2.1 Espace de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Variables aleatoires reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Variables aleatoires vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Convergence des suites de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Integrabilite uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.1 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.3 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Esperances conditionnelles 59 3.1 De nition elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 De nition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Conditionnement par une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Conditionnement et independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6.2 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 TABLE DES MATI ERES TABLE DES MATI ERES 4 Cha^nes de Markov 73 4.1 Processus aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.1 Processus canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.2 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Matrices de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3 Suites markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.4 Cha^nes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.5 Recurrence et transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6 Theorie du potentiel des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7 Cha^nes irreductibles recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.8 Stabilisation des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.9 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9.1 Recurrence et fonctions excessives . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9.2 Etude d'exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.9.3 Marches aleatoires sur Zd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5 Martingales 111 5.1 De nition et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2 Etude sur un intervalle de temps ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 Martingales dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4 Martingales dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 Martingales positives generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6.1 Application aux cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6.2 Etude des sous-martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.6.3 Suites de v.a.r. independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4
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8 commentaires


TiPoisson
TiPoisson
Posté le 17 sept. 2015

bon document

TiPoisson
TiPoisson
Posté le 17 sept. 2015

bon document

BRISO
BRISO
Posté le 8 juil. 2015

ce document est excellent mais il y a encore des améliorations a fais

 

ngatchoulrich
ngatchoulrich
Posté le 23 août 2015

cool

kaizukuhaku
kaizukuhaku
Posté le 22 oct. 2014

commentaire de qualité

ngatchoulrich
ngatchoulrich
Posté le 23 août 2015

tranquil

mosttfa
mosttfa
Posté le 4 oct. 2014

C'est un bon document

ngatchoulrich
ngatchoulrich
Posté le 23 août 2015

bon

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