Fonctions r´eelles `a une variable r´eelle

Plan :

1 Fonctions réelles `a une variable réelle et théorèmes de base 3
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Limites `a droite et limites `a gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Limites `a l’infini et limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Continuité´e et th´théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Définitions et Notations: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Dérivées et théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Définitions et Notations: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Opérations sur les dérivées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Théorème de Rolle et applications: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4 Théorème des accroissements finis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Dérivées d’ordre supérieur et règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1 Formules de Taylor et Mac-Laurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 Exemples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.3 Application de la Formule de Taylor au Calcul numérique : . . . . . . . . 22
1.7 Fonctions Réciproques (ou inverses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1 Rappels: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.2 Exemples de fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8.2 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8.3 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29