Cours de Math´ematiques MPSI-2 Lycée Fermat

Cours de Math´ematiques MPSI-2 Lycée Fermat

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Publié le 1 févr. 2016 - Donne ton avis

ce fichier contient tous les cours du module de mathématique de la premier année universitaire science technologie et science de la matière.Et ce fichier est très détailler.personnellement j'utilise ce cours dans mes études et pour l’instant il est très utile 

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1 Raisonnement, ensembles 7
1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Relation d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Les nombres complexes 21
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Rappels de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Exponentielle imaginaire et applications en trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Extraction de racine carr´ee par r´esolution alg´ebrique (`a ´eviter) . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Extraction de racine carr´ee par r´esolution trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Equation du second degr´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Racines ni`emes de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.5 Racines ni`emes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Fonctions usuelles 30
3.1 Th´eor`emes d’analyse admis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Calcul pratique de d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D´eriv´ee d’une homographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D´eriv´ee d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
D´eriv´ee logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exponentielle en facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
R`egle de la chaˆıne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Exponentielles, logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exponentielle de base a : a
x = e
x ln a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Logarithme de base a : loga
(x) =
ln x
ln a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Fonctions puissance x
α = e
α ln x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Etude des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.4 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.5 Fonctions hyperboliques r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fonction argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Fonction argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TABLE DES MATIERES ` 3
3.3.6 Etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.7 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
D´eriv´ee d’une fonction complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Equations diff´erentielles 44
4.1 Rappels d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Caract´erisations de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Equations du premier ordre lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 R´esolution de l’´equation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.3 M´ethode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Equations diff´erentielles du second ordre a` coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.2 R´esolution de l’´equation avec second membre exponentielle-polynˆome . . . . . . . . . . . 49
5 G´eom´etrie du plan 52
5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Modes de rep´erage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Produit scalaire, produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 G´eom´etrie de l’espace 62
6.1 Modes de rep´erage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 D´eterminant, produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.6 Sph`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Courbes param´etr´ees 71
7.1 Fonctions a` valeurs dans R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Plan d’´etude d’une courbe param´etr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Courbes polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4.1 Etude d’une courbe ρ = f(θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4.2 La cardio¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4.3 La stropho¨ıde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.1 Equation ´ polaire d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.2 Equations cart´esiennes r´eduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.3 Courbes alg´ebriques du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8 Les nombres r´eels 85
8.1 Valeur absolue, majorer, minorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 Suites r´eelles 90
9.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.2 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.3 Th´eor`emes g´en´eraux sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4 Suites et s´eries g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.6 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.7 Etude de suites r´ecurrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.7.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.7.2 La fonction f est d´ecroissante sur un intervalle stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.7.3 Quelques relations de r´ecurrences classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Suites g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Suites arithm´etico-g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 TABLE DES MATIERES `
9.8 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.9 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.9.1 Recherche pratique d’´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Recherche d’un ´equivalent d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Recherche d’un ´equivalent d’un logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10 Fonctions d’une variable r´eelle 105
10.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2 Etude ´ locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3 Etude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.4 Propri´et´es globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11 D´eriv´ees 118
11.1 D´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.2 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.3 Th´eor`eme de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.4 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12 Les entiers naturels 128
12.1 Les entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.1.1 Propri´et´es fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.1.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1.3 D´enombrements fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.1.4 Propri´et´es des coefficients binˆomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.1.5 Num´erotation en base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Les entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.2.1 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.3 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.4 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.4.1 Arithm´etique dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.4.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.4.3 Applications de l’arithm´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13 Espaces vectoriels 147
13.1 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.2 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.4 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13.5 Syst`emes libres, g´en´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13.6 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.7 Structure d’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
13.8 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13.9 Formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14 Polynˆomes 161
14.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.2 Arithm´etique des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.3 Fonctions polynˆomiales. Racines d’un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.4 D´erivation, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.5 Relations coefficients-racines pour les polynˆomes scind´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
14.6 D´ecomposition d’un polynˆome en facteurs irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15 Int´egration 171
15.1 Construction de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.1.1 Int´egrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.1.2 Int´egrale d’une fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.1.3 Notations d´efinitives et majorations fondamentales d’int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.2 Le th´eor`eme fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
15.3 Changement de variables, int´egration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
15.4 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
15.5 M´ethodes num´eriques de calcul d’int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15.6 Fonctions a` valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
TABLE DES MATIERES ` 5
16 Espaces vectoriels en dimension finie 185
16.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
16.4 Applications lin´eaires en dimension finie — formule du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
17 Matrices 191
17.1 D´efinition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
17.2 Matrice d’une application lin´eaire relativement a` deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
17.4 L’alg`ebre des matrices carr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17.5.2 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17.5.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.5.4 Matrices sym´etriques, antisym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.6 Le groupe des matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.7 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17.7.1 Matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17.7.2 Changement de coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
17.7.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
17.8 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
18 D´eveloppements limit´es 203
18.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
18.2 D´eveloppements limit´es classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
18.2.1 Obtention par Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
18.2.2 Obtention de DL par primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
18.2.3 Produit de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
18.2.4 Obtention de DL par composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
18.3 Applications des d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
18.3.1 Recherche de limites et d’´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
18.3.2 Prolongement d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
18.3.3 Branches infinies d’une courbe y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
18.3.4 Etude ´ locale des courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
18.3.5 Branches infinies des courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
18.3.6 Equations ´ diff´erentielles non-normalis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
19 D´eterminants 210
19.1 Groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
19.1.1 Cycles, transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
19.1.2 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
19.2 Formes n-lin´eaires altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
19.3 D´eterminant d’un syst`eme de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
19.4 D´eterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
19.5 Calcul de d´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
20 Syst`emes d’´equations lin´eaires 220
20.1 Interpr´etations d’un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.1 Interpr´etation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.2 Interpr´etation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.3 Interpr´etation lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.4 Interpr´etation duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
20.1.5 Structures de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
20.2 Syst`emes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
20.3 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
20.4 M´ethode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 TABLE DES MATIERES `
21 Calcul de primitives 224
21.1 Calcul pratique de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
21.1.1 Primitives usuelles a` connaˆıtre par coeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
21.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
21.2.1 D´ecomposition en ´el´ements simples d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 226
21.2.2 D´ecomposition en ´el´ements simples dans C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
21.2.3 D´ecomposition en ´el´ements simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
21.2.4 Primitives de fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
21.2.5 Primitives rationnelles en sin , cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
21.2.6 Primitives rationnelles en sh , ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
21.2.7 Primitives avec des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
22 Produit scalaire 232
22.1 D´efinitions et r`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
22.2 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
22.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
22.4 Matrice de produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
22.6 Projecteurs et sym´etries orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
22.7 Espaces euclidiens orient´es. Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
22.8 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
22.9 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
22.9.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
22.9.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
23 Fonctions de deux variables 247
23.1 Continuit´e d’une fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
23.2 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
23.3 Extr´emas d’une fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
23.4 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
23.5 Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
23.6 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
23.7 Aire d’un domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
24 Propri´et´es m´etriques des courbes planes 258
24.1 Rectification des courbes planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
24.1.1 Notations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
24.1.2 Abscisse curviligne, longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
24.1.3 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
24.1.4 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
24.2 Centre de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
25 Applications affines 265
25.1 Points-vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
25.2 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
25.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
25.4 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
25.5 Isom´etries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
25.6 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271


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