Continuite d’une fonction d’une variable reelle

Continuite d’une fonction d’une variable reelle

Publié le 1 avr. 2011 - Donne ton avis

1 Continuit ́e 1.1 Continuit ́e en un point D ́efinition 1 Soit f une fonction num ́erique d’une variable r ́eel le d ́efinie sur un voisinage V de x0 . On dira que f est continue au point x0 si lim x→x 0 f (x) = f (x0 ) . Remarque 1 - Dans la d ́efinition pr ́ec ́edente, contrairement `a ce qui a ́et ́e vu dans le calcul de limite, il faut que la fonction f soit d ́efinie au point x0 . - Si lim x→x+ 0 f (x) = f (x0 ), on dit que la fonction f est continue `a droite en x0 . - Si lim x→x − 0 f (x) = f (x 0 ), on dit que la fonction f est continue `a gauche en x0 . Remarque 2 f est continue en x0 ssi f est continue `a droite et `a gauche en x0 ssi lim x→x − 0 f (x) = limx→x + 0 f (x) = f (x 0 ) 1.2 Continuit ́e sur un ensemble D ́efinition 2 Soit f une fonction num ́erique d’une variable r ́eel le d ́efinie sur un ensemble A. On dit que la fonction f est continue sur A si f est continue en tout point de A. Autrement dit si : ∀x 0 ∈ A on a limx→x0 f (x) = f (x 0 ). Remarque 3 Si f est une fonction num ́erique d’une variable r ́eel le d ́efinie sur [a, b] (avec a < b), alors : f sera continue sur [a, b] si :    f est continue sur ]a, b[ f est continue `a droite en a f est continue `a gauche en b . On adaptera facilement la d ́efinition si f est d ́efinie sur ]a, b] ou encore [a, b[.
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Table des matières 1 Continuité 2 1.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Continuit ́e sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Image d’un intervalle par une fonction continue 3 2.1 Th ́eor`eme des valeurs interm ́ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Fonction réciproque d’une fonction strictement monotone sur un intervalle 5 3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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