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Texte pédagogique expliquant l'axiomatique et les théorèmes d'incomplétude de Gödel, c'est-à-dire les limites des raisonnements logiques déductifs.
Nous appellerons axiomatique le système constitué par l'ensemble des axiomes et des règles d'inférence que nous nous sommes donné. En appliquant une ou plusieurs fois des règles d'inférence à des axiomes de notre axiomatique, nous pouvons déduire des propositions vraies que nous appellerons théorèmes (...)
Plan :
1. Définitions
1.1 Propositions
1.2 Axiomes et règles d'inférence
1.3 Axiomatique et théorèmes
1.3.1 Exemple 1 : axiomatique des nombres entiers naturels de Peano
1.3.2 Exemple 2 : axiomatique de la mécanique quantique
1.4 Propositions indémontrables
1.5 Principes du tiers exclu, de non-contradiction et du syllogisme
1.6 Langage de l'axiomatique de Gödel
1.6.1 Alphabet
1.6.2 Syntaxe
1.7 Numérisation de l'axiomatique de Gödel
1.7.1 Des propositions aux nombres entiers
1.7.2 Des nombres entiers aux propositions
2. Problèmes de cohérence et de complétude
2.1 Cohérence d'une axiomatique
2.2 Complétude d'une axiomatique
2.3 Axiomatique et méta-axiomatique
2.4 Transformation axiomatique de la méta-axiomatique
2.5 Théorème d'incomplétude
2.5.1 Relation entre complétude et arrêt d'un programme
2.6 Théorème d'indécidabilité de la cohérence
2.7 Conclusions sur les limites de l'axiomatique
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