La Démonstration 5019

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Mezzetta Marion Tle S Verte

La démonstration

1. Qu’est-ce que démontrer ?

Démonstration (« qui montre en partant de »), a pour but de prouver qu’une affirmation est vrai car elle découle nécessairement de prémisses reconnues comme vraies. Mais c’est plus qu’une simple déduction ; le principe de démonstration fait le chemin inverse : il s’agit de trouver de quelles propositions reçues comme vraie celle-ci découle. Tandis que la preuve pousse à admettre absolument, la démonstration se base sur un « si », l’affirmation serait-elle vraie si telle condition était remplie ?

2. La logique formelle classique et la démonstration syllogistique

La logique, mère de toute démonstration, est « l’art de bien conduire sa raison dans la connaissance des choses », cette faculté de déterminer les règles d’un raisonnement, reliant les faits entre eux de manière réfléchie et inévitablement vraie. Aristote créé la logique formelle, science permettant d’étudier la forme d’un raisonnement ; ainsi analyse-t-il le syllogisme (associant 3 notions deux à deux vers une conclusion nécessairement vraie, car les deux notions précédentes le sont.) : ex. de Socrate.

Ce type de raisonnement s’applique assez fréquemment avec des variantes, c’est un raisonnement déductif intrinsèque à l’esprit humain proche du raisonnement par anagogie.

3. La logique symbolique

Par opposition a cette logique nait au XIXème siècle la logique moderne, dite symbolique ; elle tend à transformer les raisonnements en calculs, avec des symboles. L’algèbre de G. Boole en est un parfait exemple. Il réduit la logique à un algèbre simple, qui est aujourd’hui utile en informatique et apporte une réponse aux problèmes jusqu’alors in surmontés des mathématiciens.

4. Le probable entre le vrai et le faux

Un fondement de la logique aristotélicienne, le principe du tiers exclu, a subsisté jusuq’au XIXème siècle. C’est un principe selon lequel une proposition est soit vraie soit fausse, sans justemilieu. Ce juste milieu fut admis a partir du XIXème siècle, avec des logiques naissantes considérant des propositions possibles vraismeblables, pas fatalement vraies ni définitivement fausses.

5. Démonstration directe et démonstration indirecte

Les mathématiciens utilisent deux types de démonstrations : directe (comme définie ci-dessus) et indirecte (raisonnement par l’absurde) ; l’une se basant sur le principe d’identité, l’autre sur celui de non-contradiction.

1. La démonstration directe

Une telle démonstration, rapport entre deux quantités, peut être établie avec ou sans intermédiaire.