Théorie de galois 91714

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

1.1 Introduction Tous les corps considérés dans ce cours seront des corps commutatifs. Soit K un tel corps. Définition On dit qu’un corps E est une extension du corps K si, et seulement si, K est un sous-corps de E.

Plan

Plan :

1 Corps des racines 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Corps des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Adjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Degré d’une extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Extensions simples 8 2.1 Extensions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Cas où a est algébrique sur K . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Cas où a est transcendant sur K . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Extensions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Simplicité d’une extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Cas où K est fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.2 Cas où K est infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Prolongement d’isomorphismes 16 3.1 Isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Prolongement d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.1 Cas où a est transcendant sur K . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 Cas où a est algébrique sur K . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Unicité du corps des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Racines de l’unité 23 4.1 Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Extensions normales 28 6 Extensions séparables 32 6.1 Degré de Galois d’une extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2 Extensions Séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Les correspondances de Galois 37 7.1 Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.2 Les correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.3 EXEMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8 Compléments sur les groupes 44 8.1 Quelques théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.2 Chaînes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.3 Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.4 Groupe dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9 Résolubilité par des radicaux 55 9.1 Groupe de Galois d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.2 Polynômes résolubles et leurs groupes de Galois . . . . . . . . . . 56 10 Equation générale de degré n 60 10.1 Equation de degrée n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.2 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10.3 Equation de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 10.4 Equation de degré 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 10.5 Equation de degré 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Signaler un abus