Calcul des probabilités deug 2ième année 91715

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

1.1 Introduction Le calcul des probabilités est la science qui modélise les phénomènes aléatoires. Une modélisation implique donc certainement une simplification des phénomènes, mais cette simplification conduit à une quantification, donc à la possibilité de faire des calculs et à prédire. Le jet d’un dé, le tirage du Loto pourraient être analysés par les lois de la mécanique, mais ce serait trop compliqué pour être utile. La modélisation du calcul des probabilités a été inventée par A. N. Kolmogorov dans un livre paru en 1933. Cette modélisation est faite à partir de 3 objets ( ;A;P ) que nous allons décrire.

Plan

Plan :

1 L’espace de probabilités ( ;A;P ) 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 L’espace des observables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 La tribu des évènements A: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 La probabilité P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Quatre espaces de probabilité importants 7 2.1 L’espace est fini ou dénombrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Le cas équiprobable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Le schéma Succès-Echec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Le cas où = IR: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Probabilités conditionnelles et indépendance 20 3.1 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Indépendance d’évènements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Indépendance de sous tribus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Image d’une probabilité, variables aléatoires 24 4.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Image d’une probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Les variables aléatoires réelles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . 26 5 L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 28 5.1 Les variables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . . . . . . . 30 5.3 Théorème du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.4 Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. . . . . . . 33 6 Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace 35 6.1 Moments et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2 Les variables aléatoires à valeurs entières. . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.3 Transformée de Laplace d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . 44 7 Appendice 1: Grandes déviations 49 8 Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson 53 9 Appendice 3: Annales des problèmes de probabilités de Deug et de licence 59

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