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Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

Introduction Pourquoi les méthodes numériques ? Le métier d’ingénieur hydraulicien ne se conçoit guère sans l’utilisation de logiciels de modélisation de l’hydraulique (souterraine, à surface libre, en charge) et du transport (de contaminant, de sédiments, etc.) Ces logiciels résolvent des équations telles que l’équation de continuité, de conservation de la quantité de mouvement, de conservation de l’énergie ou de conservation de la masse. Du fait de la complexité de la géométrie, ainsi que de la variation dans le temps ou dans l’espace des conditions aux limites, ces équations différentielles ne peuvent en général pas être résolues de façon exacte. Elles sont résolues de façon approchée, à l’aide des méthodes numériques. Les méthodes numériques ne donnent pas la solution véritable du problème que l’on cherche à résoudre. Des méthodes numériques mal employées peuvent conduire à des résultats totalement faux, allant à l’encontre de la réalité physique (exemples typiques: concentrations négatives, création ou disparition artificielle de la masse d’eau ou de soluté dans un modèle). Il est indispensable pour un ingénieur de posséder des notions de base sur les méthodes numériques, afin de pouvoir éviter les pièges et remédier aux problèmes les plus courants qui se posent lors de l’utilisation de modèles standards dans le cadre d’études et/ou de projets. La matière “Méthodes Numériques Appliquées” a pour but de vous donner les connaissances de base nécessaires à la compréhension des algorithmes les plus couramment utilisés dans les logiciels de modélisation hydraulique.

Plan

Plan :

Méthodes Numériques Appliquées 3.1 Principe...........................................................................................................34 3.1.1 Discrétisation impliquant une seule dimension d’espace ......................................35 3.1.2 Problèmes multidimensionnels..............................................................................35 3.2 Méthodes pour les EDPs hyperboliques .........................................................37 3.2.1 Schémas décentrés amont......................................................................................37 3.2.2 La méthode des caractéristiques............................................................................41 3.2.3 Le schéma de Preissmann......................................................................................42 3.2.4 Le schéma de Crank-Nicholson.............................................................................44 3.2.5 Stabilité des schémas.............................................................................................45 3.3 Méthodes pour les EDPs paraboliques ...........................................................45 3.4 Méthodes pour les EDPs elliptiques ...............................................................48 3.5 Problèmes multidimensionnels .......................................................................49 3.5.1 Les directions alternées .........................................................................................49 3.5.2 Méthodes multidimensionnelles............................................................................52 3.6 Traitement des termes non-linéaires dans les schémas implicites ..................53 3.7 Consistance des schémas numériques pour EDPs – diffusion et dispersion numériques......................................................................................................54 3.7.1 Analyse de consistance des schémas pour les EDPs .............................................54 3.7.2 Diffusion numérique..............................................................................................55 3.7.3 Dispersion numérique............................................................................................55 Chapitre 4. Méthodes aux éléments finis et aux volumes finis ......................................57 4.1 Eléments finis .................................................................................................57 4.2 Volumes finis..................................................................................................60 4.2.1 EDPs conservatives ...............................................................................................61 4.2.2 Principe des volumes finis en une dimension d’espace .........................................62 4.2.3 Application: l’équation de convection conservative..............................................64 Chapitre 5. Conseils pratiques........................................................................................65 5.1 Prise en main d’un logiciel de simulation.......................................................65 5.2 En cas de problème.........................................................................................65 Annexe A .......................................................................................................................67 Annexe B........................................................................................................................70

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