Maths pcsi cours matrices 228370

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

1 Pr´esentation de Mn,p(K) 1.1 Espace des matrices (n, p) D´efinition 1 • Soient n, p 2 N. Une matrice (n, p) (“n lignes p colonnes”) `a coefficients1 dans K est une aplication de [[1, n]] × [[1, p]] dans K. De mˆeme que pour une suite, on note un plutˆot que u(n), on notera ´egalement pour les matrices mi,j au lieu de M(i, j). On repr´esentera la matriceM par un tableau `a n lignes et p colonnes, en mettant l’´el´ement mi,j `a l’intersection de la i-`eme ligne et de la j-`eme colonne. . . • L’ensemble des matrices de type (n, p) `a coefficients dans K est not´e Mn,p(K). Lorsque n = p, on notera Mn(K) plutˆot que Mn,n(K). • On munit naturellementMn(K) d’une structure d’espace vectoriel, avec les lois naturelles suivantes : (M + N)i,j = mi,j + ni,j

Plan

Plan :

Table des mati`eres 1 Pr´esentation de Mn,p(K) 2 1.1 Espace des matrices (n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Lien avec les applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 L’alg`ebre Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Repr´esentation des applications lin´eaires 7 2.1 Matrices coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Matrice de passage entre deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Formule de changement de base pour une application lin´eaire . . . . . . . . . 9 2.4 Compl´ements sur Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Th´eorie du rang 11 3.1 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Rang d’une matrice, pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Inversion des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Annexe : puissances d’une matrice 17 4.1 Pourquoi et comment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Utilisation d’un polynˆome annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.4 Pour terminer... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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