Maths pcsi cours d´ecomposition des fractions rationnelles 228368

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

1 G´en´eralit´es 1.1 Pr´esentation de C(X) De mˆeme que Q existe parce que Z poss`ede des ´el´ements non inversibles, on peut construire un corps commutatif contenant K[X], dont tous les ´el´ements non nuls sont inversibles, et dont tous les ´el´ements s’´ecrivent (de fa¸con non unique, comme pour les rationnels) P Q avec P 2 K[X] et Q 2 K[X] {0}. Ce corps est not´e K(X) : “corps des fractions rationnelles `a coefficients dans K”. Il faut comprendre que les fractions X X(1 + X) et 1 1 + X SONT EGALES, et pas seulement les jours de beau temps (condition non grotesque1 mais pas toujours v´erifi´ee), ou bien lorsque X 6= −1 (condition exacte et grotesque bien que (en fait, car) toujours v´erifi´ee. . . ). On admet que toute fraction F peut s’´ecrire sous la forme P Q , o`u P et Q “sont premiers entre eux” (on note P ^ Q = 1), c’est-`a-dire : il n’existe pas de polynˆome non constant A tel que A divise P et Q. Il y a mˆeme unicit´e si on impose `a Q d’ˆetre unitaire. On parle de forme irr´eductible. Notons que si P ^ Q = 1, alors P et Q n’ont pas de racine commune : pourquoi ? Terminons par d´efinir le degr´e d’une fraction F = P Q 6= 0 par deg F = deg P − deg Q, avec . Le lecteur chipotteur v´erifiera que cette d´efinition est coh´erente. . . apr`es s’ˆetre pos´e la question : qu’est-ce qui se passe si F = P1 Q1 = P2 Q2 ? Exercice 1 Que dire de deg(F1F2) et deg(F1 + F2) ?

Plan

Plan :

Table des mati`eres 1 G´en´eralit´es 2 1.1 Pr´esentation de C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Pˆoles, fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 D´ecomposition dans C(X) 3 2.1 Th´eor`eme de d´ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Pˆoles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Pˆole double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 Au del`a des pˆoles doubles (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 D´ecomposition dans R(X) 7 3.1 Th´eor`eme de d´ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Pˆoles r´eels simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Pˆoles complexes conjugu´es simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4 Pˆoles complexes conjug´es d’ordre 2 et plus (HP) . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.5 Consid´erations de parit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1

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