Maths pcsi cours corps des complexes 228360

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

1 Calculs dans C 1.1 Le corps C Proposition 1 Il existe un corps commutatif1 not´e C contenant R ainsi qu’un ´el´ement i v´erifiant i2 = −1, tel que tout ´el´ement z de C s’´ecrit de fa¸con unique a + bi, avec a, b 2 R. Remarques 1 – Avec les notations de la proposition pr´ec´edente, on dit que a (resp. b) est la partie r´eelle (resp. imaginaire) de z. On note a = Re z et b = Im z. – Un complexe est donc r´eel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, alors qu’un complexe dont la partie r´eelle est nulle est dit “imaginaire pur”. – Si z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2, alors z1z2 = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1).

Plan

Plan :

Table des mati`eres 1 Calculs dans C 2 1.1 Le corps C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Module, conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Argument, forme exponentielle 3 2.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Groupe des complexes de module 1, argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Formules de Moivre et Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 L’EXEMPLE fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.5 Le th´eor`eme de l’angle moiti´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Equations alg´ebriques sur C 5 3.1 Equation z2 = z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Racines d’un trinˆome du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.3 Racines de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Trigonom´etrie et g´eom´etrie 6 4.1 Quelques formules trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.2 Sommes de cosinus et de sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.3 Passage par la tangente de l’angle moiti´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.4 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

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