Maths pcsi cours alg`ebre lin´eaire en dimension finie 228366

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

1.1 Applications lin´eaires D´efinition 1 Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application lin´eaire de E dans F est une application f : E ! F telle que pour tout x, y 2 E et pour tout  2 K, on a f(x+y) = f(x)+f(y). L’ensemble des applications lin´eaires de E dans F est not´e L(E, F) : il s’agit d’un K-espace vectoriel, si on le munit de la somme et de la multiplication externe “naturelles”. Proposition 1 Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et f 2 L(E, F). • Si G est un troisi`eme espace vectoriel et g 2 L(􀀀 F,G), alors g  f 2 L(E,G). En particulier, L(E),+, ., ) est une K-alg`ebre. • Si f est bijective (on parle alors d’isomorphisme), alors son application r´eciproque f−1 : F ! E est lin´eaire. • Si E1 < E, alors f(E1) < F. • Si F1 < F, alors f−1(F1) < E (ici, f n’est pas forc´ement bijective).

Plan

Plan :

Table des mati`eres 1 Rappels d’alg`ebre lin´eaire 2 1.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Familles libres, g´en´eratrices ; bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sommes de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Projections vs projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Sym´etries vs involutions lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Th´eorie de la dimension 6 2.1 Th´eor`eme de la base incompl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 D´efinition de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Dimension des sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Cas des hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Rang des applications lin´eaires 9 3.1 Rang d’une famille de vecteurs et d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Un lemme important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Le th´eor`eme du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 Une cons´equence fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5 Le groupe lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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