Fonction à deux variable 28213

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

1– Dérivées partielles Les fonctions qui suivent sont supposées définies sur un ouvert U de  2 ; U est ouvert si, pour tout point a de U, il existe un rayon r strictement positif tel que le disque de centre a et de rayon r est inclus dans U. Cela signifie qu'on peut se déplacer d'une petite longueur dans toutes les directions autour de a tout en restant dans U. EXEMPLE : {(x1, x2), x1 > 0, x2 > 0} est un ouvert {(x1, x2), x1 ³ 0, x2 > 0} n'est pas un ouvert. Les points vérifiant x1 = 0 mettent en défaut la définition de l'ouvert puisque tout déplacement vers x1 < 0 fait sortir de l'ensemble. q Soit f une fonction définie d'un ouvert de  2 dans  , et soit a = (x1, x2) un point de cet ouvert. On appelle dérivées partielles de f en a les dérivées des applications partielles : x ® f(x, x2) dont la dérivée en x1 est notée D1f(a) ou ¶f ¶x1 (a) x ® f(x1, x) dont la dérivée en x2 est notée D2f(a) ou ¶f ¶x2 (a) On dérive donc f par rapport à la ième composante en considérant l'autre composante comme constante. Si chaque dérivée partielle est continue, on dit que f est de classe C1. EXEMPLE : f(x1, x2) = 2x1 3x2 2 Þ ¶f ¶x1 (x1, x2) = 6x1 2x2 2 et ¶f ¶x2 (x1, x2) = 4x1 3x2

Plan

Plan :

PLAN I : Limites et Continuité 1) Fonctions à valeurs réelles 2) Limites et continuité 2) Fonctions à valeurs vectorielles II : Dérivation 1) Dérivées partielles 2) Gradient 3) Dérivées de fonctions composées 4) Extremum 5) Dérivées successives 6) Tangente à une ligne de niveau III : Intégrales doubles 1) Exemples 2) Propriétés 3) Changement de variables 4) Autres exemples d'intégrales multiples Annexe I : Théorème de Schwarz Annexe II : Applications et formules diverses 1) Centre d'inertie 2) Moment d'inertie

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