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Exercices d'application et corrigés - Les Nombres Complexes 1019
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Exercices d'application + corrigés - Les lois de probabilités
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Exercices d'application et corrigés - Les Nombres Complexes
bianca28 - Mise à jour : 27/01/2009
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Niveau : Bac+2
Extrait / Introduction
Extrait:
Questions :
1Trouver, dans les bases canoniques, la forme générale des éléments de C*, puis de CR*.
2Etudier les applications f, g, h définies par f(z) = Re(z), g(z) = Im(z), h(z) = ,
3Quelle est la base duale de (1,i) dans CR* ? [...]
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Exemple de page de Exercices d'application et corrigés - Les Nombres Complexes
Exercices d’application
Exercice1(Nombres complexes) :
Questions :
Trouver, dans les bases canoniques, la forme générale des éléments de C*, puis de CR*.
Etudier les applications f, g, h définies par f(z) = Re(z), g(z) = Im(z), h(z) =
,
Quelle est la base duale de (1,i) dans CR* ?
Réponses :
1.
a) Etude de C*.
Si f est dans C*, alors, f : C
C.
D'autre part, pour tout z dans C, f(z) = f(z.1) et, par C-linéarité
: f(z) = z.f(1). f(1) est un nombre complexe
fixé, posons f(1) = t. Alors, f(z) = t.z, t
C.
Réciproquement, toute application de ce type est bien une
forme linéaire sur le C-ev C.
C* = {f : C
C,
f(z) = t.z, t
C}
1.
b) Etude de CR*.
Si g est dans CR*,
alors, g : C
R.
D'autre part, pour tout z dans C, g(z) = g(x.1 + y.i) et, par
R-linéarité : g(z) = x.g(1) + y.g(i). g(1) et g(i) sont
deux nombres réels
fixés, posons g(1) = a et g(i) = b, a et b réels.
Alors, g(z) = a.x + b.y, (a,b)
R².
Réciproquement, toute application de ce type est bien une
forme linéaire sur le R-ev CR.
CR*
= {g : C
R,
g(z) = g(x + iy) = ax + by, (a,b)
R²}.
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