Cours intégral bts éléctrotechnique 21211

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

Ce cours traite grosso modo des items suivants composant le programme : 1. Nombres complexes 2. 2. Suites numériques 2. 3. Fonctions d’une variable réelle. 4. Calcul di¤érentiel et intégral 3. 5. Séries numériques et séries de Fourier. 6. Transformation de Laplace 7. Transformation en z. 8. Equations di¤érentielles. 9. Fonctions de deux ou trois variables. 10. Calcul matriciel. 11. Calcul des probabilités 1. 12. Calcul vectoriel.

Plan

Plan :

Présentation du programme v 1 Préliminaires 1 1.1 Dé…nitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Intégration 8 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Dé…nition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Séries numériques 14 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1 Dé…nition d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Séries de Fourier 17 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.1 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.2 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Coe¢ cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2.1 Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 18 4.2.2 Propriétés des coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4.1 Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4.2 Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Equations di¤érentielles 28 5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 Equations di¤érentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.1 Dé…nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.3 Recherche d’une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 31 5.2.4 Utilisation d’une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 Equations di¤érentielles linéaires du second ordre à coe¢ cients constants . . . . 33 5.3.1 Dé…nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3.3 Recherche d’une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 5.3.4 Utilisation d’une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Développements limités 38 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.1.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.1.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.3.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.4.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7 Transformation de Laplace 44 7.1 Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.1.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.1.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.1.4 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.1.5 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.2 Transformée de Laplace d’une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.2.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.2.2 Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.2.3 Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.2.4 Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.3 Applications à l’analyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.3.2 Equations di¤érentielles linéaires à coe¢ cients constants . . . . . . . . . 53 7.3.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.3.4 Systèmes di¤érentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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