Cours de Math´ematiques MPSI-2 Lycée Fermat 17.00 / 20

1 Raisonnement, ensembles 7
1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Relation d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Les nombres complexes 21
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Rappels de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Exponentielle imaginaire et applications en trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Extraction de racine carr´ee par r´esolution alg´ebrique (`a ´eviter) . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Extraction de racine carr´ee par r´esolution trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Equation du second degr´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Racines ni`emes de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.5 Racines ni`emes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Fonctions usuelles 30
3.1 Th´eor`emes d’analyse admis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Calcul pratique de d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D´eriv´ee d’une homographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D´eriv´ee d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
D´eriv´ee logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exponentielle en facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
R`egle de la chaˆıne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Exponentielles, logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exponentielle de base a : a
x = e
x ln a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Logarithme de base a : loga
(x) =
ln x
ln a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Fonctions puissance x
α = e
α ln x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Etude des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.4 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.5 Fonctions hyperboliques r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fonction argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Fonction argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TABLE DES MATIERES ` 3
3.3.6 Etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.7 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
D´eriv´ee d’une fonction complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Equations diff´erentielles 44
4.1 Rappels d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Caract´erisations de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Equations du premier ordre lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 R´esolution de l’´equation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.3 M´ethode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Equations diff´erentielles du second ordre a` coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.2 R´esolution de l’´equation avec second membre exponentielle-polynˆome . . . . . . . . . . . 49
5 G´eom´etrie du plan 52
5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Modes de rep´erage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Produit scalaire, produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 G´eom´etrie de l’espace 62
6.1 Modes de rep´erage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 D´eterminant, produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.6 Sph`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Courbes param´etr´ees 71
7.1 Fonctions a` valeurs dans R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Plan d’´etude d’une courbe param´etr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Courbes polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4.1 Etude d’une courbe ρ = f(θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4.2 La cardio¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4.3 La stropho¨ıde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.1 Equation ´ polaire d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.2 Equations cart´esiennes r´eduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.3 Courbes alg´ebriques du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8 Les nombres r´eels 85
8.1 Valeur absolue, majorer, minorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 Suites r´eelles 90
9.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.2 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.3 Th´eor`emes g´en´eraux sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4 Suites et s´eries g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.6 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.7 Etude de suites r´ecurrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.7.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.7.2 La fonction f est d´ecroissante sur un intervalle stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.7.3 Quelques relations de r´ecurrences classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Suites g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Suites arithm´etico-g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 TABLE DES MATIERES `
9.8 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.9 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.9.1 Recherche pratique d’´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Recherche d’un ´equivalent d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Recherche d’un ´equivalent d’un logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10 Fonctions d’une variable r´eelle 105
10.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2 Etude ´ locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3 Etude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.4 Propri´et´es globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11 D´eriv´ees 118
11.1 D´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.2 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.3 Th´eor`eme de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.4 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12 Les entiers naturels 128
12.1 Les entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.1.1 Propri´et´es fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.1.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1.3 D´enombrements fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.1.4 Propri´et´es des coefficients binˆomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.1.5 Num´erotation en base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Les entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.2.1 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.3 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.4 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.4.1 Arithm´etique dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.4.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.4.3 Applications de l’arithm´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13 Espaces vectoriels 147
13.1 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.2 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.4 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13.5 Syst`emes libres, g´en´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13.6 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.7 Structure d’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
13.8 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13.9 Formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14 Polynˆomes 161
14.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.2 Arithm´etique des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.3 Fonctions polynˆomiales. Racines d’un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.4 D´erivation, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.5 Relations coefficients-racines pour les polynˆomes scind´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
14.6 D´ecomposition d’un polynˆome en facteurs irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15 Int´egration 171
15.1 Construction de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.1.1 Int´egrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.1.2 Int´egrale d’une fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.1.3 Notations d´efinitives et majorations fondamentales d’int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.2 Le th´eor`eme fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
15.3 Changement de variables, int´egration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
15.4 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
15.5 M´ethodes num´eriques de calcul d’int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15.6 Fonctions a` valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
TABLE DES MATIERES ` 5
16 Espaces vectoriels en dimension finie 185
16.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
16.4 Applications lin´eaires en dimension finie — formule du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
17 Matrices 191
17.1 D´efinition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
17.2 Matrice d’une application lin´eaire relativement a` deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
17.4 L’alg`ebre des matrices carr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17.5.2 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17.5.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.5.4 Matrices sym´etriques, antisym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.6 Le groupe des matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.7 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17.7.1 Matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17.7.2 Changement de coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
17.7.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
17.8 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
18 D´eveloppements limit´es 203
18.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
18.2 D´eveloppements limit´es classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
18.2.1 Obtention par Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
18.2.2 Obtention de DL par primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
18.2.3 Produit de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
18.2.4 Obtention de DL par composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
18.3 Applications des d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
18.3.1 Recherche de limites et d’´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
18.3.2 Prolongement d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
18.3.3 Branches infinies d’une courbe y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
18.3.4 Etude ´ locale des courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
18.3.5 Branches infinies des courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
18.3.6 Equations ´ diff´erentielles non-normalis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
19 D´eterminants 210
19.1 Groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
19.1.1 Cycles, transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
19.1.2 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
19.2 Formes n-lin´eaires altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
19.3 D´eterminant d’un syst`eme de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
19.4 D´eterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
19.5 Calcul de d´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
20 Syst`emes d’´equations lin´eaires 220
20.1 Interpr´etations d’un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.1 Interpr´etation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.2 Interpr´etation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.3 Interpr´etation lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
20.1.4 Interpr´etation duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
20.1.5 Structures de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
20.2 Syst`emes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
20.3 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
20.4 M´ethode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 TABLE DES MATIERES `
21 Calcul de primitives 224
21.1 Calcul pratique de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
21.1.1 Primitives usuelles a` connaˆıtre par coeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
21.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
21.2.1 D´ecomposition en ´el´ements simples d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 226
21.2.2 D´ecomposition en ´el´ements simples dans C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
21.2.3 D´ecomposition en ´el´ements simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
21.2.4 Primitives de fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
21.2.5 Primitives rationnelles en sin , cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
21.2.6 Primitives rationnelles en sh , ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
21.2.7 Primitives avec des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
22 Produit scalaire 232
22.1 D´efinitions et r`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
22.2 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
22.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
22.4 Matrice de produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
22.6 Projecteurs et sym´etries orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
22.7 Espaces euclidiens orient´es. Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
22.8 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
22.9 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
22.9.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
22.9.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
23 Fonctions de deux variables 247
23.1 Continuit´e d’une fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
23.2 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
23.3 Extr´emas d’une fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
23.4 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
23.5 Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
23.6 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
23.7 Aire d’un domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
24 Propri´et´es m´etriques des courbes planes 258
24.1 Rectification des courbes planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
24.1.1 Notations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
24.1.2 Abscisse curviligne, longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
24.1.3 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
24.1.4 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
24.2 Centre de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
25 Applications affines 265
25.1 Points-vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
25.2 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
25.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
25.4 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
25.5 Isom´etries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
25.6 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271