Algèbre pour la licence 132516

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

Ce livre correspond au cours fondamental d’algèbre professé à l’université Pierre et Marie Curie dans le cadre de la troisième année de la licence de mathématiques (niveau L3 du nouveau cursus LMD). Le cours correspond à 12 ECTS (quatre heures de cours et six heures de travaux dirigés sur douze semaines). Le parti pris pédagogique de cet ouvrage est l’inverse de celui habituellement adopté par les cours de mathématiques ; il va du « particulier au général », ce qui implique quelquefois des redites (par exemple les groupes commutatifs (chapitre 2) sont traités avant les groupes généraux (chapitre 4) et certains résultats valables dans les deux cas sont énoncés deux fois). De plus de nombreux résultats sont présentés sous forme d’algorithmes (en particulier les théorèmes du chapitre II). D’autre part ce livre comprend après chaque chapitre un grand nombre d’exercices et problèmes classés par thèmes et tous corrigés. Enfin certains développements sont marqués d’une astérisque ; ils concernent des notions un peu plus élaborées, plutôt à notre avis du programme de maîtrise que de licence, et ne sont donc pas enseignés dans le cours dont il a été question plus haut. Cependant ces questions sont classiques et bien à leur place dans le cadre de cet ouvrage.

Plan

Plan :

INTRODUCTION V CHAPITRE 1 • L’ANNEAU Z 1.1 Définitions de base 1 1.2 L’anneau Z. Division euclidienne 7 1.3 Algorithme d’Euclide 8 1.4 L’anneau Z/nZ 10 Exercices 19 CHAPITRE 2 •MODULES DE TYPE FINI 2.1 Le langage des modules 25 2.2 Calcul matriciel sur un anneau principal 29 2.3 Modules libres de type fini 35 2.4 Modules de type fini sur un anneau principal 38 2.5 Modules indécomposables 41 Exercices 46 CHAPITRE 3 • RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 3.1 L’anneau K[X] 49 3.2 Polynôme minimal 50 3.3 Espaces cycliques 52 3.4 Invariants de similitude 53 3.5 Forme réduite de Jordan 55 Exercices CHAPITRE 4 • GROUPES 4.1 Généralités 65 4.2 Le groupe symétrique 68 4.3 Opération d’un groupe sur un ensemble 71 4.4 Quelques exemples liés à la géométrie 78 Exercices 89 CHAPITRE 5 • RACINES DES POLYNÔMES 5.1 Généralités, irréductibilité 97 5.2 Les racines réelles 101 5.3 Résultant et discriminant 106 5.4 ∗Fonctions symétriques des racines 111 Exercices 115 CHAPITRE 6 • THÉORIE DES CORPS 6.1 Caractéristique 123 6.2 Groupe multiplicatif 124 6.3 Extensions 124 6.4 Corps de rupture 127 6.5 Corps finis 129 6.6 ∗Compléments 134 Exercices 141 SOLUTIONS DES EXERCICES ET DES PROBLÈMES Chapitre 1 147 Chapitre 2 160 Chapitre 3 171 Chapitre 4 177 Chapitre 5 187 Chapitre 6 200 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES 208 INDEX 209

Signaler un abus