Y-t-il plusieurs sortes d'infini ?

Tout dépend de la définition de l'infini, quand on essais de se représenter mentalement l'infini, on représente plutôt le non-fini, une limite que l'on repousse sans cesse

dkz                       06/11/2010       Signaler un abus

Considérons la somme infinie :

Pensez-vous que cette somme sera égale à l'infini une fois que tous les termes seront additionnés ? Sommons les premiers termes.

Pouvez-vous deviner ce qu'est ?

Voici une autre manière de le voir. Imaginez un point sur un segment se déplaçant le long de la progression de la somme. Dans le premier terme, le point saute à la position 1. Le demi-chemin entre 0 et 2. A la deuxième étape, le point saute à la position 1,5 - le demi-chemin entre 1 et 2. A chaque étape de la progression (montré d'une couleur différente sur le schéma) la distance à 2 est diminuée de moitié. Le point peut être approché du point 2 autant que vous voulez. Vous avez besoin simplement du nombre approprié de sauts, mais le point ne sera jamais atteint avec un nombre fini de sauts. Nous disons qu'à la limite, lorsque n tend vers l'infini, Sn tend vers 2.
Paradoxe de Zenon
Les Grecs anciens avaient un gros problème avec la sommation des séries infinies. Un paradoxe célèbre dû au philosophe Zenon est le suivant :

Dans le paradoxe d'Achille et la tortue, nous imaginons le héros grec Achille dans une course à pied avec une tortue. Parcequ'il est un coureur très rapide, Achille permet gracieusement à la tortue de commencer la course en tête d'une centaine de mètres. Si nous supposons que chaque coureur commence à courir à une certaine vitesse constante (une très rapide et une très lente), alors après un certain temps fini, Achille aura couru une centaine de mètres, rattrapant le point de départ de la tortue.

Pendant ce temps, la tortue a "couru" une distance (plus courte), disons un mètre. Cela prendra à Achille un temps supplémentaire de courir cette distance, pendant lequel la tortue avancera un peu plus; puis un autre temps supplémentaire pour atteindre ce troisième point, tandis que la tortue avancera. Ainsi, lorsque Achille atteindra un endroit quelquepart où la tortue a été, il lui restera encore une distance à parcourir. Par conséquent, comme le dit Zenon, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue.

merybelle2002                       20/08/2010       Signaler un abus