Introduction aux methodes numeriques 2eme édition 50240

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

Au cours de lâhistoire, les méthodes de calcul ont été lâexpression de pratiques sans cesse renouvelées. Le développement de lâinformatique a largement contribué à une rapide progression de lâensemble des techniques numériques. En moins de cinquante ans, le paysage algorithmique a été complètement transformé. Aujourdâhui, la plupart des logiciels que nous employons font appel à des méthodes de plus en plus efficaces. Dans les simulations, comme dans les modélisations, lâanalyse numérique occupe une place centrale. Composants essentiels de la vie scientifique, les méthodes et algorithmes qui sont présentés ici, illustrés par de nombreux exemples, sont mis à la portée de tous. De lâapproximation polynomiale à la résolution dâéquations aux dérivées partielles par des méthodes de différences, de volumes et dâéléments finis, ce livre offre un large panorama des méthodes numériques actuelles. Il sâappuie sur une expérience dâune dizaine dâannées dâenseignement et sâadresse à un public très varié: étudiants en sciences, élèves dâécoles dâingénieur ou de classes préparatoires qui souhaiteraient acquérir rapidement les bases des méthodes numériques. Cette seconde édition offre des compléments dâanalyse matricielle et un nouveau chapitre sur les équations de la physique mathématique, qui sont au cÅur des préoccupations dâaujourdâhui.

Plan

Plan :

Introduction 13 1 Problèmes numériques 17 1.1 Erreurs et précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Accélération de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Problèmes bien posés, problèmes raides . . . . . . . . . . . 25 1.7 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Approximation et interpolation 35 2.1 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Interpolation d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Interpolation de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Di􀀞érences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Algorithme de Neville-Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 Meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7 Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.9 Approximation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.10 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.11 Fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.12 Approximants de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 Résolution d’équations 69 3.1 Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Théorèmes de points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 Localisation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.6 Méthode deMüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.7 Méthode de la bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.8 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.9 Méthode de Ste􀀞ensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.10 Méthode de Brent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.11 Méthode de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.12 Méthode de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.13 Méthode d’Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.14 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Intégration numérique 83 4.1 Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.3 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Méthode de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.6 Méthode de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.7 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.8 Méthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.9 Intégration de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.10 Intégration de Gauss-Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.11 Intégration de Gauss-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . 94 4.12 Intégration de Gauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5 Systèmes linéaires 99 5.1 Généralités sur lesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.1 Méthode de remontée . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.2 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.3 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . 106 5.2.4 Problème des pivots . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.5 Méthode de Crout. Factorisation LU. . . . . . . . 109 5.2.6 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2.7 Méthode de Householder. Factorisation QR . . . . 111 5.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3.1 Méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.2 Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3.3 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3.4 Méthode d’Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4 Méthodes projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.1 Méthode de la plus profonde descente . . . . . . . 119 5.4.2 Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . 120 5.4.3 Méthode du gradient conjugué préconditionné . . 120 5.4.4 Méthode du gradient conjugué pour les moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4.5 Méthode du gradient biconjugué . . . . . . . . . . 121 5.4.6 Méthode d’Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.7 Méthode GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6 Valeurs et vecteurs propres 129 6.1 Méthode des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Déflation deWielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3 Méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.4 Méthode de Givens-Householder . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.5 Méthode de Rutishauser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.6 Méthode de Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.7 Méthode de Lanczòs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.8 Calcul du polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . 137 6.8.1 Méthode de Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.8.2 Méthode de Leverrier . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.8.3 Méthode de Faddeev . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7 Équations et systèmes d’équations di􀀞érentielles 141 7.1 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.3 Inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.4 Équations di􀀞érentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.5 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.6 Ensembles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.7 Stabilité de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.8 Solutions périodiques. Théorie de Floquet . . . . . . . . . 151 7.9 Intégrales et fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . 152 7.10 Transcendantes de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.11 Hyperbolicité. Variété centrale . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.12 Classification des flots bidimensionnels . . . . . . . . . . . 158 7.13 Théorème de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . 158 7.14 Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto . . . . . . . . . 160 7.15 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.16 Système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.17 Méthodes d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.18 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.19 Méthode de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.20 Méthodes d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.21 Méthodes de Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.22 Méthodes de prédiction-correction . . . . . . . . . . . . . . 172 7.23 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8 Équations aux dérivées partielles 175 8.1 Problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.2 Espaces de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.3 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.4 Opérateurs pseudo-di􀀞érentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.5 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.6 Variété des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.7 Classification des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.8 Problèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.9 Schémas de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.10 Convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9 Équations elliptiques 195 9.1 Fonctions harmoniques. Principe dumaximum . . . . . . . 196 9.2 L’opérateur de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.3 Équations elliptiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.4 Équations elliptiques non linéaires . . . . . . . . . . . . . . 200 9.5 Méthode de Richardson-Liebmann . . . . . . . . . . . . . . 200 9.6 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.7 Méthode par transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . 201 9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10 Équations paraboliques 203 10.1 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2 Équation de la di􀀞usion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10.3 Équation parabolique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . 206 10.4 Méthode du theta-schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 10.5 Méthode de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.6 Méthode alternative de Peaceman-Rachford-Douglas . . . 209 10.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11 Équations hyperboliques 211 11.1 Résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.2 Équation du transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.2.1 Schéma de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.2.2 Schéma décentré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.2.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.2.4 Schéma de Lax-Wendro􀀞 . . . . . . . . . . . . . . 217 11.3 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.3.1 Méthode du theta-schéma . . . . . . . . . . . . . . 219 11.3.2 Schéma de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.3.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.3.4 Schéma de Lax-Wendro􀀞 . . . . . . . . . . . . . . 222 11.4 Équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.4.1 Schéma de Lax-Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . 222 11.4.2 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.4.3 Schéma de Lax-Wendro􀀞 . . . . . . . . . . . . . . 224 11.4.4 Schéma d’Engquist-Osher . . . . . . . . . . . . . . 225 11.4.5 Schéma de Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.4.6 Schémas de Lerat-Peyret . . . . . . . . . . . . . . 226 11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 12 Méthode des éléments finis 229 12.1 Principe de laméthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 12.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 12.3 Maillage et fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . 231 12.4 Matrices demasse et de rigidité élémentaires . . . . . . . . 232 12.5 Éléments finis lagrangiens d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . 232 12.6 Éléments finis lagrangiens d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 235 12.7 Éléments finis lagrangiens d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . 236 12.8 Éléments finis hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.9 Méthodes des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . 239 12.10 Méthode de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 13 Équations de physique 247 13.1 Équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 13.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 13.3 Équation de Korteweg de Vries . . . . . . . . . . . . . . . 252 13.4 Équation de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 13.5 Équation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 13.6 Équation de Benjamin-Bona-Mahony . . . . . . . . . . . . 257 13.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 A Polynômes orthogonaux 259 A.1 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 A.2 Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 A.3 Polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 A.4 Polynômes d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 A.5 Polynômes de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 A.6 Polynômes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Bibliographie 269 Index 287

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