Annalyse de donnees cous special 39765

Extrait / Introduction

Extrait / Introduction :

L’Analyse en Composantes principales (ACP) fait partie du groupe des m´ethodes descriptives multidimensionnelles appel´ees m´ethodes factorielles. Ces m´ethodes qui sont apparues au d´ebut des ann´ees 30 ont ´et´e surtout d´evelopp´ees en France dans les ann´ees 60, en particulier par Jean-Paul Benz´ecri qui a beaucoup exploit´e les aspects g´eom´etriques et les repr´esentations graphiques. Dans la mesure o`u ce sont des m´ethodes descriptives, elles ne s’appuient pas sur un mod`ele probabiliste, mais elles d´ependent d’un mod`ele g´eom´etrique. L’ACP propose, `a partir d’un tableau rectangulaire de donn´ees compor- tant les valeurs de p variables quantitatives pour n unit´es (appel´ees aussi individus), des repr´esentations g´eom´etriques de ces unit´es et de ces variables. Ces donn´ees peuvent ˆetre issues d’une proc´edure d’´echantillonnage ou bien de l’observation d’une population toute enti`ere. Les repr´esentations des unit´es permettent de voir s’il existe une structure, non connue a priori, sur cet ensemble d’unit´es. De fa¸con analogue, les repr´esentations des va- riables permettent d’´etudier les structures de liaisons lin´eaires sur l’ensemble des variables consid´er´ees. Ainsi, on cherchera si l’on peut distinguer des groupes dans l’ensemble des unit´es en regardant quelles sont les unit´es qui se ressemblent, celles qui se distinguent des autres, etc. Pour les variables, on cherchera quelles sont celles qui sont tr`es corr´el´ees entre elles, celles qui, au contraire ne sont pas corr´el´ees aux autres, etc. Nous verrons apr`es l’expos´e de la m´ethode, quelles pr´ecautions il faut prendre pour interpr´eter correctement les repr´esentations obtenues. Dans tous les cas, il ne faut pas oublier d’o`u sont issues les donn´ees utilis´ees et ce qu’elles repr´esentent et signifient pour le probl`eme que l’on se pose. Enfin, comme pour toute m´ethode descriptive, r´ealiser une ACP n’est pas une fin en soi. L’ACP servira `a mieux connaˆıtre les donn´ees sur lesquelles on travaille, `a d´etecter ´eventuellement des valeurs suspectes, et aidera `a formuler des hypoth`eses qu’il faudra ´etudier `a l’aide de mod`eles et d’´etudes statistiques inf´erentielles. On pourra aussi, a pos- teriori, se servir des repr´esentations fournies par l’ACP pour illustrer certains r´esultats dans un but p´edagogique. 3

Plan

Plan :

Table des mati`eres 1 Introduction 3 2 Tableau de donn´ees 4 3 Choix d’une distance 6 4 Choix de l’origine 7 5 Moments d’inertie 9 5.1 Inertie totale du nuage des individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.2 Inertie par rapport `a un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.3 Inertie par rapport `a un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.4 D´ecomposition de l’inertie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6 Recherche de l’axe
1 passant par G d’inertie minimum 12 6.1 Expressions alg´ebriques de I
∗ 1 et de −−→ Ga1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2 Recherche du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7 Recherche des axes suivants 14 8 Contributions des axes `a l’inertie totale 15 9 Repr´esentation des individus dans les nouveaux axes 16 9.1 Qualit´e de la repr´esentation des individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 9.2 Interpr´etation des nouveaux axes en fonction des individus . . . . . . . . . 18 9.2.1 Contribution absolue d’un individu `a un axe . . . . . . . . . . . . . 18 9.2.2 Contribution relative d’un individu `a un axe . . . . . . . . . . . . . 18 10 Repr´esentation des variables 20 10.1 Interpr´etation des axes en fonction des anciennes variables . . . . . . . . . 22 10.2 Qualit´e de la repr´esentation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10.3 ´etude des liaisons entre les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11 Analyse en composantes principales norm´ee 24 12 Individus et variables suppl´ementaires 26 13 Exemple : Budgets de l’´etat de 1872 `a 1971 27 A Matrices de covariance et de corr´elation empiriques 45 B D´ecomposition de l’inertie totale 47 1 C M´ethode des multiplicateurs de Lagrange 48 D D´eriv´ee d’une forme quadratique par rapport `a un vecteur 49 E Correspondance entre statistique et g´eom´etrie 50 F Matrices orthogonales 51 G Diagonalisation d’une matrice sym´etrique r´eelle 52

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