Cours de series temporelles theorie et applications

Plan :

1 Les séries temporelles multivariées 4 1.1 La notion de causalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Dépendence stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Causalité au sens de Granger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 La notion de cointégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Modèles à correction d’erreur (ECM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Tests de cointégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Généralisation à k variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Di¤érences entre les approches de Engle/Granger et de Johansen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 La modélisation VAR (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 La représentation V AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Les modèles ARMAX ou V ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Estimation des paramètres d’un modèle V AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Autocovariances et autocorrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Application sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.6 Prévision à l’aide des modèles V AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.7 Tests de bruit blanc des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.8 Test de causalité (Granger (1969)) sur des mod èles VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.9 Les modèles V AR (p) : analyse des chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Application des modèles V AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.1 Application : investissement, revenu et consommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2 Application des modèles V AR : rendements d’une action et d’un indice . . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Régression linéaire dans un cadre dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.1 Les retards échelonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.2 Le modèle d’ajustement partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.3 Les modèles autorégressifs à retards échelonn és (ADL(p; q)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6 Compléments : modèles multivariés sous SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.6.1 Estimation d’un modèle VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.6.2 Estimation d’un modèle à correction d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.7 Conseils bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Les modèles ARCH - Autorégressifs Conditionellement Hétéroscédastiques 42 2.1 Notions de stationnarité et notions de linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Préséntation des modèles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Processus ARCH (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.2 Processus ARCH (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 Processus GARCH (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Modèles avec erreurs ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1 Erreurs ARCH (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Erreurs ARCH (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.3 Remarque : test de racine unité en présence d’erreurs ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Estimation et prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.1 Estimation des paramètres d’un modèles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.2 La procédure de Diebold (1987) : test d’autocorrélation en présence d’e¤et ARCH . . . . . . . 49 2.4.3 Prévision et intervalle de con…ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 Modèles ARCH et …nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.1 Liens entre temps continu et temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5.2 Modèles avec variance stochastique/déterministe en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.3 Modèles avec variance stochastique/déterministe en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Autres types de modèles non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6.1 Les modèles bilinéaires - notés BL(p; q; P;Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6.2 Les modèles autorégressifs exponentiels - EXP AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6.3 Les modèles autorégressifs à seuils - TAR, STAR ou SETAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.4 Les généralisations des modèles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.7 Les tests de linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7.1 Les tests du multiplicateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1 Séries temporelles : théorie et applications Arthur CHARPENTIER 2.7.2 Le test du CUSUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.7.3 Le test BDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7.4 Le test RESET (Regression error speci…cation test ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.7.5 La procédure AUTOREG sous SAS=ET S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.8 Application sur des données réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.8.1 Modélisation GARCH du CAC40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.8.2 Modélisation des rendements du cours Intel : modèle ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.8.3 Modélisation des rendements de l’indice S&P : modèle GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.8.4 Modélisation des rendements de l’action IBM (avec dividendes) : modèle TAR . . . . . . . . . 69 2.8.5 Modélisation du taux de chômage aux Etats Unis : modèles TAR et ARCH . . . . . . . . . . 69 2.9 Conseils bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.10 Compléments sur les séries temporelles en …nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.10.1 Introduction historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.10.2 Complément sur les données disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3 Introduction à la notion de ”mémoire longue ” 75 3.1 Processus self-similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.1 Accroissements stationnaires de processus self-similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 Processus FARIMA - ARIMA Fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2.1 Processus fractionnaire sans composante AR et MA : processus FARIMA(0; d; 0) . . . . . . . 77 3.2.2 Autocorrélations des processus ARF IMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3 Estimation du paramètre d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Méthode du log-autocorrélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.2 Méthode du log-périodogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.3 Méthode de Whittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 Exemples d’applications des processus à mémoire longue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4.1 Applications en …nance : rendements d’indices boursier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4.2 Applications en …nance : taux de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.3 Applications en hydrologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.4 Applications en économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.5 Conseils bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Compléments : exercices 86 4.1 Exercices avec correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Examen de 2001/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3 Examen de 2002/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Examen de 2003/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5 Compléments : simulation de séries temporelles 113 5.1 Simulation de processus en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1.1 Simulation d’un bruit blanc gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1.2 Simulation d’un processus ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.1.3 Simulation d’un processus ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Introduction à la simulation de processus en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6 Compléments : Logiciels de séries temporelles 116 6.1 Introduction à EViews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.1.1 Les données sous EViews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1.2 Les graphiques sous Eviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2 La régression linéaire sous Eviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.2.1 Estimation des paramètres (1) ¡ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.2.2 Statistique de Student F (3) ¡ (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.2.3 Coe¢cient R2 (5) ¡ (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2.4 Somme des carrés (7) ¡ (8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2.5 Log-vraissemblance du modèle (9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2.6 Test du Durbin-Watson (10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2.7 ’Dependent var’ (11) ¡ (12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.2.8 Critère d’Aikaïké (13) et de Schwarz (14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2 Séries temporelles : théorie et applications Arthur CHARPENTIER 6.2.9 Statistique de Fisher F (15) ¡ (16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.2.10 Statistique sur les résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2.11 Copier/coller des sorties dans un rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.12 La régression linéaire sur d’autres logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.3 Lecture de l’autocorrélogramme sous Eviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.4 Estimation d’un modèle ARMA sous Eviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.4.1 Racines des polynômes AR et MA (17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.4.2 Tests sur les erreurs "t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.5 Les sorties de la procédure ARIMA sous SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.6 Utilisation de SAS avec des séries chronologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.7 Méthode de lissage exponentiel : Holt-Winters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.8 Modèles ARIMA sous SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.8.1 Syntaxe de la procédure ARIMA sous SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.8.2 La lecture des sorties SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3